La RNN vanilla

La lección anterior, sobre por qué el perceptrón multicapa (multilayer perceptron, MLP) falla con secuencias, dejó dos defectos medidos: lo que hay que recortar de un texto largo, y lo que la red averigua en una posición y no le sirve en otra. Los dos salen de la misma causa, y esa causa no está en el tamaño de la red ni en cómo se la entrena. Está en la entrada: aquella red no leía una secuencia, recibía un vector. Lo que sigue es la corrección, y llega con una propiedad que de una corrección no se espera: la red que la aplica es más pequeña que la que falla.

Se llama red neuronal recurrente (recurrent neural network, RNN), y en su forma original —la que todo el mundo llama vanilla— cabe en dos matrices y un bucle. Lo difícil de ella no es cómo funciona, que son dos líneas, sino por qué algo tan corto consigue lo que la red grande no conseguía. La respuesta está entera en una renuncia: esta red no mira la frase, la recorre.

Recórrela antes de seguir. En el explorable de abajo, cada avance aplica el mismo paso a una posición más: las dos matrices son siempre las mismas y sólo cambia el estado que entra por la izquierda. Así es, además, como la vas a encontrar dibujada en cualquier libro que la trate.

Hay una lectura que esa secuencia invita a hacer y que es falsa: las cajas no son capas distintas. Son la misma función dibujada una vez por posición, como se dibujarían las vueltas de un bucle for, y por eso los rótulos se repiten en lugar de numerarse. Una red con una capa por posición tendría un juego de pesos por cada una; ésta tiene uno solo, valga la secuencia lo que valga.

Un estado que se reescribe en cada posición

Cada posición aporta el vector de su entrada del vocabulario, $\mathbf{x}_t = \mathbf{e}_{w_t} \in \mathbb{R}^{d_{\text{model}}}$, la fila de $\mathbf{E}$ que le corresponde, igual que en la lección anterior. Lo nuevo es el otro vector, el que la red se pasa a sí misma de un paso al siguiente: el estado oculto $\mathbf{h}_t \in \mathbb{R}^{d_h}$, donde $d_h$ se elige al construir la red y es lo único que decide cuánto cabe en esa memoria. Fijemos además $\mathbf{h}_0 = \mathbf{0}$, porque antes de leer el primer token no hay nada que recordar.

Con eso, un paso es una capa corriente a la que entran dos cosas en lugar de una:

con $\mathbf{W}_{hh} \in \mathbb{R}^{d_h \times d_h}$ leyendo el estado anterior, $\mathbf{W}_{xh} \in \mathbb{R}^{d_h \times d_{\text{model}}}$ leyendo el token de turno y $\mathbf{b}_h \in \mathbb{R}^{d_h}$. La tangente hiperbólica ocupa el hueco $\varphi$ de la lección sobre funciones de activaciónBlock 2 · Lesson 2Funciones de activación y no linealidadEl escalón deja pasar el signo de la preactivación y tira lo demás, y su derivada vale cero allí donde existe. Sigmoide, tangente hiperbólica y ReLU devuelven la magnitud y admiten derivada; ninguna puede ser una recta, porque encadenar funciones afines vuelve a dar una función afín.; ahí caben las tres que se vieron allí, y la escribo con su nombre porque es la que la recurrencia lleva en todo el bloque.

El paso $t = 1$ parece pedir una regla aparte, y no la pide. Con $\mathbf{h}_0 = \mathbf{0}$ el primer término desaparece solo:

Ese anidamiento contesta la pregunta de dónde queda guardado el orden. No está en los pesos —son los mismos en las tres posiciones— sino en cuántas veces ha atravesado cada token la matriz $\mathbf{W}_{hh}$ antes de llegar al final: en $\mathbf{h}_3$, el vector $\mathbf{x}_1$ la ha cruzado dos veces, $\mathbf{x}_2$ una y $\mathbf{x}_3$ ninguna. Cambia dos tokens de sitio y cambias esa cuenta.

Queda sacar una respuesta del estado. Para un veredicto por documento, se lee del último:

con $\mathbf{W}_{hy}$ de forma $1 \times d_h$ —una fila por salida, y aquí la salida es una— y $\mathbf{b}_y$ de una coordenada. La activación es otra, y no por descuido: $\sigma$ es la sigmoide logística y no la $\tanh$ del bucle, porque lo que la red entrega es una probabilidad y la $\tanh$ devuelve números entre $-1$ y $1$. Es la capa de salida del clasificador de reseñas del bloque anterior sin un solo cambio; lo distinto es de dónde viene lo que entra en ella. Por eso el dibujo de arriba no la lleva y la cuenta de más abajo tampoco: la recurrencia son las dos matrices del bucle, y esta tercera es una capa prestada que ya sabes montar.

Repasa ahora las formas de esas dos matrices y comprueba qué no aparece en ninguna: $T$. $\mathbf{W}_{hh}$ mide $d_h \times d_h$, $\mathbf{W}_{xh}$ mide $d_h \times d_{\text{model}}$, y ninguna de las dos sabe cuántas veces se la va a usar. Eso deja sin objeto las dos operaciones que la longitud fija imponía: no hay un $T_{\max}$ por el que truncar, y no hay posiciones sobrantes que rellenar con el vector nulo —el padding de la lección anterior—, porque no hay posiciones de más. Hay exactamente las que trae el documento.

Debajo de eso hay un cambio de unidad que conviene ver. En el MLP concatenado, una entrada de la red era un documento: la primera capa tenía tantas columnas como ocupaba el documento entero. Aquí una entrada de la red es un token, porque $\mathbf{W}_{xh}$ tiene $d_{\text{model}}$ columnas y ninguna más, y en cada paso la red no ve nada aparte del vector de esa posición y del estado que trae. La longitud del texto no ha desaparecido del sistema: se ha mudado de las formas al número de vueltas del bucle. Y esa mudanza es la que lo cambia todo, porque una forma queda fija al construir la red y ya no se toca —eso es lo que obligaba a truncar—, mientras que el número de vueltas lo decide cada documento al llegar.

Una sola matriz para todas las posiciones

Suma lo que ocupan las tres piezas de la recurrencia:

Ponla al lado de la de la lección anterior, $d_1 \cdot T_{\max} \cdot d_{\text{model}}$. Lo que hay que mirar no es cuál sale más pequeña —eso es una consecuencia— sino qué letras aparecen en cada una: allí estaba $T_{\max}$ y aquí no está. Leer documentos diez veces más largos no añade un peso.

Y el ahorro es lo de menos. Lo que cambia es a qué se dedica cada peso. En la concatenación, el trozo de la primera capa que leía la posición 2 y el que leía la posición 8 eran dos matrices distintas, ajustadas con ejemplos distintos, y la segunda se quedaba como salió de la inicialización si el corpus nunca traía nada interesante tan al final. En la recurrencia hay una $\mathbf{W}_{xh}$, y la atraviesan los vectores de todas las posiciones de todos los documentos. Lo que aprenda a hacer con el vector de guion lo aplica esté guion donde esté, porque no tiene forma de saber dónde está.

Compartir los pesos es lo que hace que una RNN sea una RNN. Quítalo —una matriz distinta por posición— y lo que queda es el MLP concatenado con otro nombre.

El reverso viene con el gradiente, y conviene enunciarlo aquí aunque esta lección no lo resuelva. $\mathbf{W}_{hh}$ no interviene una vez en el cálculo de $\mathbf{h}_T$: interviene $T$ veces, como enseña el anidamiento de arriba. Así que la pérdida depende de esa matriz por $T$ caminos distintos, y su gradiente tendrá que recogerlos todos.

Ejecutando la recurrencia sobre dos frases de distinta longitud

Ocho entradas de vocabulario, embeddings de $d_{\text{model}} = 4$ y un estado de $d_h = 3$ coordenadas. Los pesos me los da un generador con semilla fija y no están entrenados: lo que hay que mirar en esta celda no es qué valores salen, sino cuántas veces se usa cada matriz. paso es la recurrencia transcrita línea por línea, y lee la aplica a una frase imprimiendo el estado en cada posición.

Cuenta las filas: cinco para la primera frase, diez para la segunda, y las mismas Whh y Wxh en las quince. No hay una versión de la red para textos cortos y otra para largos, y no ha hecho falta recortar ni rellenar nada —el bucle da las vueltas que le pida la frase—.

Las dos últimas líneas son la lección anterior contestada. el guion ocupa las posiciones 1 y 2 de la primera frase y las 7 y 8 de la segunda, y los estados que produce son casi los mismos: $(0.509,\ 0.947,\ 0.072)$ frente a $(0.481,\ 0.935,\ 0.024)$. Casi, no exactamente, y las dos mitades cuentan. Se parecen porque los pesos que leen esos dos tokens son los mismos pesos, estén donde estén; en el MLP concatenado no había ninguna razón para que se parecieran, y la lección anterior midió que no se parecían en absoluto. Y difieren porque el estado que traían de antes no era el mismo, que es justo la información de orden que la bolsa de palabras no tenía dónde guardar.

Esa diferencia se puede aislar. Toma dos frases con exactamente los mismos tokens y cámbialos de sitio.

La bolsa de palabras devuelve el mismo vector para las dos frases, casilla por casilla, porque suma y la suma no tiene orden. El estado final no: $(0.117,\ 0.087,\ 0.171)$ contra $(-0.141,\ 0.701,\ -0.632)$, y no es una diferencia de matiz, porque cambian los tres signos. La recurrencia se ha quedado con lo bueno de las dos representaciones que el bloque lleva comparando: distingue el orden, como la concatenación, y comparte los pesos, como la bolsa.

Las dos últimas líneas ponen el precio en números, con las dimensiones de la lección anterior: $d_{\text{model}} = 100$ y una capa —o un estado— de $128$ coordenadas. Pasar de leer frases a leer párrafos multiplica por diez la primera capa del MLP concatenado y deja la recurrencia exactamente donde estaba, en $29\,312$ pesos. Los $3\,810\,688$ que el MLP añade empiezan todos en su inicialización, y hay que ajustarlos con el mismo corpus de antes.

Comprueba tu intuición

Cuatro preguntas: cuántos pesos pide la recurrencia, por qué una posición que el entrenamiento nunca vio deja de ser un problema, qué dice y qué no dice la fórmula, y qué pasa si se anula la matriz que transporta el estado.

import numpy as np
 
Whh, Wxh, bh = np.zeros((2, 2)), np.eye(2), np.zeros(2)
 
def final(xs):
    h = np.zeros(2)
    for x in xs:
        h = np.tanh(Whh @ h + Wxh @ x + bh)
    return h
 
a, b = np.array([1., 0.]), np.array([0., 1.])
print(np.allclose(final([a, b]), final([b, b])),
      np.allclose(final([a, b]), final([b, a])))
 

Y una recurrencia entera escrita por ti, que es la que vas a derivar en la lección siguiente.

La red ya sabe leer y todavía no sabe aprender. Todo lo de arriba es la pasada hacia adelante: pesos puestos por un generador, ni un gradiente, ni un paso de descenso. Y el gradiente es donde compartir los pesos deja de salir gratis. En una red del bloque anterior cada matriz aparecía una vez en el camino de la entrada a la pérdida, y eso es lo que hacía que su gradiente fuera un solo producto; $\mathbf{W}_{hh}$ aparece $T$ veces.

Qué hacer con esos $T$ caminos —sumarlos, y recorrer la secuencia entera hacia atrás para obtenerlos— es la siguiente lección, sobre backpropagation a través del tiempo (backpropagation through time, BPTT). Es la regla de la cadena del bloque anterior sin ninguna variación, aplicada a un grafo que en vez de tener $L$ capas de altura tiene $T$ pasos de largo, y de ahí sale la cuenta completa de $\nabla_{\mathbf{W}_{hh}}\mathcal{L}$, $\nabla_{\mathbf{W}_{xh}}\mathcal{L}$ y $\nabla_{\mathbf{b}_h}\mathcal{L}$.